„Haben wir noch nicht besprochen!“ So reagieren Schülerinnen und Schüler häufig bei ungewohnten Aufgaben. Sie vermissen einen Algorithmus oder – allgemeiner – einen bekannten Lösungsweg, den sie nachmachen können.
Was ihnen fehlt, sind Kenntnisse über Hilfsmittel und Strategien zur Problembehandlung.
Mit „Problemlösen“ ist hier nicht das Knacken von Knobelaufgaben gemeint, sondern die erfolgreiche Bearbeitung unbekannter Aufgaben. Damit Schülerinnen und Schüler lernen, Probleme selbstständig zu bearbeiten, kann Lernen nicht nur durch Vormachen und Nachmachen erfolgen.
„Wie können Schülerinnen und Schüler Problemlösekompetenzen erwerben?“
Zur Beantwortung dieser Frage haben die Lehrerinnen und Lehrer aus dem SINUS-Projekt 1 folgende Thesen erarbeitet:
- Die Schülerinnen und Schüler sollten ihren Lösungsweg reflektieren und sich die angewendeten Strategien bewusst machen.
- Sie sollten die Problemlösestrategien explizit kennen (Metawissen) und einüben.
- ALLE Strategien werden bereits in den Jahrgangsstufen 5/6 erworben!
Später nimmt nur die Komplexität der Probleme zu (zum Beispiel durch die Anzahl der Lösungsschritte und die Vernetzung verschiedener Strategien). - Auch „einfache Strategien“ sollten in höheren Klassen weitergeübt werden.
Die besondere Bedeutung von Problemlösefähigkeit ist – nicht nur in der Mathematik – unstrittig. Deshalb muss der Mathematikunterricht dafür sorgen, dass Schülerinnen und Schüler über angemessene Strategien verfügen.
Hintergründe
Folgerungen aus der TIMS-Studie waren, dass deutsche Schülerinnen und Schüler über zu wenige Kompetenzen im Bereich der Anwendung von Mathematik auf alltagsbezogene Probleme verfügen und der Unterricht zu kalkülorientiert ist.
Der Erwerb von Problemlösefähigkeiten gehört auch zu den von Heinrich Winter formulierten drei Grunderfahrungen des Mathematikunterrichts.
(G1) Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen,
(G2) mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache, Symbolen, Bildern und Formen, als geistige Schöpfungen, als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art kennen zu lernen und zu begreifen,
(G3) in der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten, die über die Mathematik hinaus gehen (heuristische Fähigkeiten) zu erwerben.
(Winter, H.: Mathematikunterricht und Allgemeinbildung, in: Mitteilungen der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik 61, (1995) S. 37ff.)
Die Bildungsstandards der KMK und die nordrhein-westfälischen Kernlehrpläne betonen als Ziel von Unterricht, dass Schülerinnen und Schüler mathematisches Wissen funktional, flexibel und mit Einsicht zur Bearbeitung vielfältiger kontextbezogener Probleme einsetzen und reale Probleme in geeigneter Weise mathematisch beschreiben, also Modelle bilden und nutzen. Dazu gehören Fähigkeiten, komplexe Probleme zu strukturieren und in inner- und außermathematischen Kontexten problemlösend zu arbeiten.
Problemlösen gehört zu den in den Kernlehrplänen ausgewiesenen prozessbezogenen Kompetenzen. Die Arbeit des Sinus-Sets kann exemplarisch gesehen werden für das Vorgehen von Lehrerinnen und Lehrern, die die Lehrpläne in ihrem Unterricht umsetzen wollen. Eine erste Schwierigkeit, die sich bei den Diskussionen im Projekt herausstellte, war, dass nicht von vornherein klar war, was mit den dort genannten Problemlösestrategien (z. B. „Beispiele finden“) explizit gemeint ist. Aus diesem Grund hat die Arbeitsgruppe in einem ersten Schritt die in den Kernlehrplänen genannten Strategien zusammengestellt und diskutiert.
Kernlehrplanbezüge
Die Kernlehrpläne unterscheiden im Problemlöseprozess die Teilkompetenzen Erkunden, Lösen und Reflektieren.
Zum Erkunden einer Situation gehört es, Fragen zu stellen, relevante Größen zu entnehmen, Vermutungen aufzustellen, Teilprobleme zu formulieren. Damit ergeben sich hier Verbindungen zur Kompetenz „Kommunizieren“ (Leseverstehen).
Beim Reflektieren überprüfen, bewerten und vergleichen Schülerinnen und Schüler Ergebnisse, Lösungswege und Strategien.
Zum Lösen von Problemen nutzen Schülerinnen und Schüler einerseits bekannte Verfahren und Algorithmen, andererseits ist aber auch die Anwendung von Problemlösestrategien (Heuristiken) erforderlich.
Folgende Vorgaben sind im Kernlehrplan (z. B. GY) zum Problemlösen enthalten:
Kompetenzerwartungen am Ende der Jahrgangsstufe 6
Schülerinnen und Schüler
Erkunden
- geben inner- und außermathematische Problemstellungen in eigenen Worten wieder und entnehmen ihnen die relevanten Größen
- finden in einfachen Problemsituationen mögliche mathematische Fragestellungen
Lösen
- ermitteln Näherungswerte für erwartete Ergebnisse durch Schätzen und Überschlagen
- nutzen elementare mathematische Regeln und Verfahren (Messen, Rechnen, Schließen) zum Lösen von anschaulichen Alltagsproblemen
- wenden die Problemlösestrategien "Beispiele finden", "Überprüfen durch Probieren" an
Reflektieren
- deuten Ergebnisse in Bezug auf die ursprüngliche Problemstellung
Kompetenzerwartungen am Ende der Jahrgangsstufe 8
Schülerinnen und Schüler
Erkunden
- untersuchen Muster und Beziehungen bei Zahlen und Figuren und stellen Vermutungen auf
Lösen
- planen und beschreiben ihre Vorgehensweise zur Lösung eines Problems
- nutzen Algorithmen zum Lösen mathematischer Standardaufgaben und bewerten ihre Praktikabilität
- überprüfen bei einem Problem die Möglichkeit mehrerer Lösungen oder Lösungswege
- wenden die Problemlösestrategien "Zurückführen auf Bekanntes" (Konstruktion von Hilfslinien, Zwischenrechnungen), "Spezialfälle finden" und "Verallgemeinern" an
- nutzen verschiedene Darstellungsformen (z. B. Tabellen, Skizzen, Gleichungen) zur Problemlösung
Reflektieren
- überprüfen und bewerten Ergebnisse durch Plausibilitätsüberlegungen, Überschlagsrechnungen oder Skizzen
- überprüfen Lösungswege auf Richtigkeit und Schlüssigkeit
Kompetenzerwartungen am Ende der Jahrgangsstufe 9
Schülerinnen und Schüler
Erkunden
- zerlegen Probleme in Teilprobleme
Lösen
- wenden die Problemlösestrategien "Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten" an
Reflektieren
- vergleichen Lösungswege und Problemlösestrategien und bewerten sie
Darüber hinaus haben die Lehrerinnen und Lehrer zur Verdeutlichung der Strategien geeignete Beispielaufgaben gesucht, die in Schulbüchern vorhanden sind.
Aufgabenbeispiele
In der Tabelle sind exemplarische Aufgabenbeispiele für die verschiedenen Problemlösestrategien, die im Kernlehrplan genannt sind, zusammengestellt. Die Gruppe hat bewusst typische Schulbuchaufgaben ausgewählt, die durch Aufgaben aus den eingeführten Schulbüchern ersetzt werden können, um zu betonen, dass die prozessbezogenen Kompetenzen des Kernlehrplans keine zusätzlichen Unterrichtsinhalte darstellen, sondern immer in der Arbeit mit den vorgegebenen Fachinhalten erworben werden.
| Arithmetik | Funktionen | Geometrie | Stochastik | |
| Systematisches Probieren | 6_2 Schwimmer 6_Bonbons 5_Weihnachtsgebäck 6_Fliesen 6_Fotoalbum 5_Kaninchen | 6_Erde 6_Meerschweinkäfig 5_Maschendrahtzaun | ||
| Beispiele finden | 5_Zahlenmauer 5_Rinderherde | 5_Symm. Figuren 9_Pyth.Tripel | ||
| Vorwärtsarbeiten | 6_Magische Quadrate I 7_Magische Quadrate II 5_Alte_Dame | 8_Schatz_finden 9_Maschendrahtzaun | ||
| Schätzen und Überschlagen | 5_Pinguine 5_Insel_Föhr 5_Kette_Kinder 6_Miete | 6_Miete 7_Kreisfläche | ||
| Zurückführen auf Bekanntes | 8_Rechtecke | |||
| Wechsel der Darstellung | 8_Schatz_finden | |||
| Plausibilitäts überlegung | ||||
| Spezialfälle finden | ||||
| Verallgemeinern | 7_x-beliebig | |||
| Rückwärtsarbeiten | 5_Drei_Tore | |||
| Kombiniertes Vorwärts-/Rückwärtsarbeiten | 9_Stanzblech | 7_GlücksradUrne | ||
| Zerlegen in Teilprobleme | 7_Geburtstagsfeier 9_Piratenschiff 9_Kölnarena | 8_Würfelspiel | ||
| Systematisches Ausschließen |
In der Fachdidaktik gibt es zahlreiche Veröffentlichungen zu diesem Thema, von denen einige hinzugezogen wurden.
Hintergrundinformationen
Auf dem Sinus-Sever der Universität Bayreuth befinden sich Materialien von Regina Bruder mit weiteren Links. Darauf aufbauend haben wir die folgende Mindmap zusammengestellt. Die Mindmap wird noch durch eine eigene ersetzt
Ein Klassiker ist das Buch von Polya, in dem er heuristische Strategien zusammenstellt und erläutert. G. Polya, Schule des Denkens, Bern, 1980 (3. Aufl.)
Polya unterscheidet vier Phasen der Problemlösung:
- Erstens: Verstehen der Aufgabe
Typische Fragen: Was ist unbekannt? Was ist gegeben? Wie lauten die Bedingungen? Reichen die Bedingungen aus, sind sie über- oder unterbestimmt oder sogar widersprüchlich?
Hilfsmittel: Figuren zeichnen, Bezeichnungen einführen - Zweitens: Ausdenken eines Plans
Typische Fragen: Kennst du eine ähnliche verwandte Aufgabe, die schon gelöst ist? Kannst du einen Teil der Aufgabe lösen? Kannst du einen Zusammenhang zwischen den Daten und der Unbekannten herstellen? Kannst du dir Daten ausdenken, die helfen, die Unbekannte zu bestimmen? Hast du alle Bedingungen und Begriffe benutzt, die in der Aufgabe enthalten sind? - Drittens: Ausführen des Plans
Kontrolliere dabei jeden Schritt. - Viertens: Rückschau
Prüfe die erhaltene Lösung. Kannst du das Ergebnis oder die Methode für irgendeine andere Aufgabe gebrauchen?
Timo Leuders hat in seiner Mathematik-Didaktik eine andere Systematik der Problemlösestrategien entwickelt.
| Analogien bilden, übertragen | Kombinationen bilden |
| Aufteilen | Spezialfälle/Extremfälle finden |
| Darstellungswechsel | Überschreiten |
| Voraussetzungen variieren | Den Weg variieren |
| Alternativen bilden | Unterscheiden |
| Systematisches Vergleichen | Ausschöpfen |
| Ungerichtetes Probieren | Muster suchen |
| Anwenden | Beispiele finden/Spezialisieren |
| Vereinfachen | Fehler nutzen |
Timo Leuders (Hrsg.): Mathematik-Didaktik; Berlin 2003; S. 134
Weitere Hinweise findet man in den Materialien zu den Lernstandserhebungen.
Um eine Veränderung der unterrichtlichen Praxis in den Schulen zu bewirken, reicht eine Sammlung von Aufgabenbeispielen zu den Strategien noch nicht:
Zum einen sind die auch in den Kernlehrplänen genannten Aspekte „Erkunden“ und „Reflektieren“ noch nicht hinreichend berücksichtigt. Im Erkunden wird die Eigenaktivität der Schülerinnen und Schüler gefördert und sie verbinden die neue Situation mit ihren eigenen Erfahrungen.
Andererseits muss auch die Reflexion der Vorgehensweise auf der Metaebene durch die Schülerinnen und Schüler noch stärker herausgearbeitet und methodisch angereichert werden. („Wie bist du vorgegangen? Welche Fragen haben dir geholfen? Welche Hilfsmittel hast du benutzt?“)
Es fehlen noch Konzepte zur systematischen Integration der Erkenntnisse in den Fachunterricht und die schulinternen Curricula, um eine Nachhaltigkeit in den gelernten Strategien herzustellen. Wie schwierig das ist, haben erste Versuche der beteiligten Schulen gezeigt.